Abstract
tumorigenesis er en dynamisk biologisk prosess som involverer ulike kreftcellepopulasjoner prolifererende på forskjellige priser og interconverting mellom dem. I denne artikkelen foreslår vi en matematisk rammeverk for populasjonsdynamikk som vurderer både særegne vekstrater og inter overganger mellom kreft cellepopulasjoner. Vår matematisk rammeverk viste at både vekst og overgang påvirke forholdet mellom cancercelle subpopulasjoner, men den sistnevnte er mer signifikant. Vi utledet under forutsetning av at ulike kreftcelletyper kan opprettholde karakteristiske subpopulasjoner og vi forklarer også hvorfor det alltid finnes en stabil fast ratio etter celle sortering basert på antatte overflatemarkører. Cellen brøkdel forhold kan flyttes ved å endre enten vekstratene i de delpopulasjoner (darwinismen utvalg) eller med miljø instruert overganger (lamarckisme induksjon). Denne innsikten kan hjelpe oss til å forstå dynamikken i heterogenitet av kreftceller og føre oss til nye strategier for å overvinne kreft narkotika motstand
Citation. Zhou JX, Pisco AO, Qian H, Huang S (2014) Nonequilibrium populasjonsdynamikk av Phenotype Konvertering av kreftceller. PLoS ONE 9 (12): e110714. doi: 10,1371 /journal.pone.0110714
Redaktør: Gergely Szakács, ungarske Academy of Sciences, Ungarn
mottatt: 24 mars 2014; Godkjent: 20 september 2014; Publisert: 01.12.2014
Copyright: © 2014 Zhou et al. Dette er en åpen-tilgang artikkelen distribueres under betingelsene i Creative Commons Attribution License, som tillater ubegrenset bruk, distribusjon og reproduksjon i ethvert medium, forutsatt den opprinnelige forfatteren og kilden krediteres
Finansiering:. Denne forskningen ble støttet av National Science Foundation i henhold Grant No. PHY11-25915 og icore (Alberta, Canada). Den Funder hadde ingen rolle i studiedesign, datainnsamling og analyse, beslutning om å publisere, eller utarbeidelse av manuskriptet
Konkurrerende interesser. Medforfatter Sui Huang er en PLoS ONE Editorial styremedlem. Dette endrer ikke forfatternes tilslutning til PLoS ONE redaksjonelle retningslinjer og kriterier.
Innledning
I løpet av kreft progresjon, både utvikling og homeostatiske aktiviteter, kreftceller gjennomgå fenotypiske endringer som for eksempel celledifferensiering, immun aktivering under betennelsesreaksjon, eller epitelial til mesenchymale overgang (EMT). En bryter av celle tilstand er drevet av genom-wide genuttrykk endringer som følger karakteristiske mønstre. For eksempel, som respons på et signal som fremmer differensiering, en populasjon av umodne forløperceller uttrykker proteiner
X og Y
, som er forbundet med den differensierte tilstand ( «differensiering markør») og er nødvendig for de fysiologiske funksjoner de differensierte celler (fig. 1A). Den gennettverk (GRN) koordinerer endringer i uttrykket nivåer av genene som implementerer spesifikke fenotypiske tilstander av celler. Grn beskriver hvordan de regulatoriske gener som kontrollerer hverandres uttrykk på en forutbestemt måte, som er kodet i genomet (Fig. 1B). Vi kan således representere en celle tilstand ved dens ekspresjonsmønster av de
n
gener der er uttrykket aktiviteten av gen locus kvantifisert ved nivået for det genomiske lokuset, enten i form av transkripter eller proteiner. På grunn av iboende ikke-lineariteter av dynamikken i slike nettverk, en rik strukturen i staten rommet (rommet av alle konfigurasjoner av) med multiple å tiltrekke regioner ( «multistability» = sameksistens av flere stabile tilstander) oppstår slik at hvert tiltrekker domene kartene til en distinkt celle fenotype eller oppførsel, som vist på fig. 1C. Bassengene av attraksjon compartmentalize nettverkets tilstand plass og gi opphav til disjunkte stabile stater – ta essensielle egenskaper ved celletyper [1]. Teorien, først foreslått mer enn 50 år siden [2], [3], som (høy-dimensjonale) «attraktorer» representerer de ulike celletyper i metazo organismer bygget fundamentet for å forstå celle tilstand overgangs og cellepopulasjonsdynamikk.
A. Tre celle stater med distinkte genekspresjon og. B. Genet regulatoriske krets av X og Y bestemmer tre celle stater. C. Hver stat er assosiert med en vekst på henholdsvis. Tre stater overgang til hverandre med de inter priser.
En celle er den elementære enhet i en befolkning som fødsel, død og transformasjon hendelser ligger til grunn for populasjonsdynamikken. Mange studier beskriver de cellulære overgang ved hjelp av en master ligning enten i diskrete formalisme, som boolske nettverk [4], [5], eller i den kontinuerlige formalisme av vanlige differensierings ligningene (oder) [6] – [8]. Forutsetningen om massebevarings er vanligvis brukes i modeller inspirert av rente ligningene i kjemi. Imidlertid må det tas hensyn til at mobilnettet multiplikasjon bryter massen bevaring. Avreisen fra massebevarings spontant endre sannsynlighetstettheten i fravær av tilstrømningen /utstrømming til /fra staten. Denne forestillingen er av sentral betydning for å forstå vev formasjon siden celle populasjonsdynamikk de blir ikke-likevekts dynamikk. Forholdet mellom fraksjoner av celler som svarer til ulike fenotyper ikke lenger ubetinget nærmer seg en stabil tilstand, tatt i betraktning både celleproliferasjon og celle-overgang. Sammen med overgangen rate, netto cellevekst (spredning minus død), endres også overflod av celler i attraktor staten og dermed påvirker okkuperte forholdet mellom attraktor stater, endre den generelle vev konformasjon.
I populasjonsbiologi, særlig i studiet av evolusjon dynamikk, har mange forskere modellert heterogene populasjoner av distinkte arter som varierer i «fitness» [9]. En nært beslektet matematisk teori for cellepopulasjonsdynamikk er Luria-Delbrück teori, initiert av Luria og Delbrück og omfattende utviklet senere av Lea og Coulson, Kendall, Bartlett, Armitage og Doll, og mange andre, [10], [11]. Typisk i disse modellene, er befolkningen heterogenitet på grunn av mangfoldet av genotyper produsert av genetiske mutasjoner i stedet for multistability og ikke-genetiske ( «epigenetiske») overganger mellom flere attraktor stater. Disse klassiske evolution modeller av cellepopulasjoner har spilt en viktig rolle i analysen av den somatiske utviklingen av kreftceller, antatt å være den viktigste driveren av kreft progresjon [9], [12]. Men disse modellene stilltiende anta et en-til-en mapping mellom genotype og fenotype og anta vilkårlige genetiske mutasjoner som mekanisme for celle-fenotype svitsjing.
Nylige fremskritt innen pattedyrcelle omprogrammering og celletransdifferensiering har understreket betydningen av multistability og ikke-genetisk celletilstandsoverganger som resulterer i ikke-genetiske celle populasjonsdynamikk [13], [14]. Vurderer slike ikke-genetiske dynamikken vil føre til modeller som skiller seg fra klassiske genetiske modeller i følgende punkter:
Snøploger
tilstandsoverganger: disse overgangene er ofte tilnærmet symmetrisk mens mutasjoner i den tradisjonelle modellen er vanligvis irreversible,
Hyppig
tilstandsoverganger. overgangen rate er ofte i samme tidsskala som divisjon tid eller enda raskere, mens mutasjonsraten per locus er mye tregere enn divisjon frekvens
Overganger er ikke strengt ikke-Lamarckian. De kan bli indusert i en kontrollert (målrettet) eller ukontrollert mens mutasjoner er tilfeldig rettet og deres priser ikke lett fleksibel.
Det sentrale fokus for denne artikkelen er dynamikken i den cellulære sammensetningen av en voksende kreftcelle befolkning. Mer spesifikt studerer vi dynamikken i den relative overflod av forskjellige kreftcelle subtyper. Vi diskuterer også betingelsene for en kreftcellepopulasjon for å opprettholde det faste forhold og forskjellige celletyper. Til slutt studerer vi hvordan overgangs og vekstrater påvirker en undergruppe forholdet når cellepopulasjon når likevekt. Siden den sanne nyheten av denne forskningen er å innføre tilstandsavhengig vekst til celle tilstand overgang, generelt denne modellen kan brukes til å beskrive celledifferensiering under embryogenese, eller hvilken som helst celle populasjonsdynamikk hvor vekst og overgang begge spiller viktige roller i samme skala
Cell befolkning modell for transisjon og vekst dynamikk. to-fenotyper
Vi starter med en enkel modell av kreft cellepopulasjon med to fenotyper. Vi antar at bimodal uttrykk nivåer av markører kan modulere vekst. Diskretisering av en cellepopulasjon med kontinuerlig fordelt genuttrykk nivåer i to stater, og er bevilget for å fange de karakteristiske populasjonsdynamikk. Ikke-lineære dynamiske systemer har vanligvis stabile steady state (attractors) og systemet skal returnere til attraktorer under rimelig små forstyrrelser. Dynamikken i retur til attraktorer eller re-etablere likevekt etter forstyrrelse er vanligvis en viktig egenskap ved ikke-lineære dynamiske systemer. Det hjelper oss til å forstå mekanismen av mange interessante biologiske fenomener i biologi, for eksempel polymorfisme, homeostase etc. Her vi først etablere betingelsene for sameksistens mellom de to fenotyper ved å karakterisere både eksistensen av en steady-state forholdet mellom disse to typer og dynamikken som ligger til grunn re-etablering av likevekt
Elementary modell:. to-fenotype celle populasjonsdynamiske
Vi anser dynamikken i en cellepopulasjon med to interconverting stater ( «subpopulasjoner «) og med relative hopetall og som har sine egne fødselsrater, dødsrater og statlige overgangs priser. Netto vekstrater (den lett målte mengder) er og Henholdsvis. Cellepopulasjonen dynamikk inkludert både cellevekst og tilstandsovergang er beskrevet av den tilsvarende sett med oder: (1)
Eq. (1) matrise representasjon er gitt ved: (2) der er en matrise med både vekst og overgangsvilkår. Det er viktig å understreke at kun nettovekst kan måles pålitelig i cellekultur. Hvis er egenverdiene i Eq. (2), den generelle løsningen av denne lineære ODE system er: (3)
langvarig dynamisk oppførsel av denne dynamiske systemet blir deretter bestemt ved de to egenverdiene. Det er to forskjellige atferd hvis egenverdiene enten ha motsatt fortegn eller det samme tegn. Når de to egenverdiene har motsatt fortegn, dvs. vekst begrepet forbundet med den negative egenverdien avtar eksponentielt. I denne situasjonen de to cellepopulasjoner har i hovedsak de samme vekstraten, definert av den positive egenverdien med bare forskjellige forhånds faktorer
A
11 (når
) og
A
22
(
når
). Dette tyder på at bare en undergruppe kan overleve uavhengig mens den andre undergruppe lever som den deriverte av den andre.
Når de to egenverdiene har de samme tegn, det vil si, må vi vurdere om de er enten positive eller negative . Hvis begge egenverdier er positive, er de to subpopulasjoner overleve sammen. På lang sikt begge populasjoner vil vokse med samme takt, definert av større egenverdi. Til slutt, hvis begge egenverdiene er negative, da begge subpopulasjoner bli utryddet sammen. Matematisk, siden produktet av de to egenverdiene er determinant av matrisen
T
, tilstanden for de to egenverdiene som har samme fortegn kan skrives som: (4)
Derfor, hvis vekstratene begge fenotyper er mye større enn de statlige konverteringer, dvs. da de to subpopulasjoner kan både overleve på egenhånd. Men hvis en av de to populasjonene har en overgang hastighet som er større enn dens hastighet divisjon, denne populasjonen kan bare overleve som et «
derivat
» av den andre (som det avhenger av «tilbakestrømning» fra den andre) . Denne enkle matematiske observasjon har konsekvenser i ikke-genetiske legemiddelresistens (persistors) [15], [16]. Hvis omregningskursene for begge subpopulasjoner er mye større enn deres respektive vekstrater, blir skillet mellom de to adskilte celle fenotyper uskarpt. Interessant, i dette tilfelle ingen av de subpopulasjoner kan overleve alene. Vi kan vurdere disse to populasjonene som en eneste med en gjennomsnittlig vekst på. Dermed ved å undersøke overgangsprisene i regimer aldri vurdert i mutasjonsbaserte populasjonsdynamikk (fordi mutasjoner er sjeldne), inngår vi en dynamisk regime som er relevant for celle populasjonsdynamikk hvor ikke-genetiske fenotype konverteringer dominerer.
Vi kan bestemme befolkningen forholdet mellom de to subpopulasjoner i dette regimet. Siden det i det lange løp begge populasjoner vekst er gitt ved uttrykket med større egenverdien, det vil si, er forholdet mellom dem i det vesentlige
A
21 /A
22
. Dynamikken i følge (5)
Derfor steady-state-forhold brøkdel av er (6) som vi betegner som differensial netto vekst på i forhold til at av dividert med overgangen rate fra til. Mens befolkningen forholdet blir stillestående, kan både bestander av og vokse på ubestemt tid. Dette resultatet avviker fra klassiske populasjonsdynamikk hvor sameksistens av to populasjoner av ulike vekstrater er ikke stabil på grunn av én retning konvertering (mutasjon). Faktisk senere arbeid på klonale (isogene) cancercellepopulasjoner viste at de vanligvis består av flere interconverting diskrete subpopulasjoner i forbindelse med biologisk relevante funksjonelle egenskaper, slik som stammen lignende oppførsel, medikament-utstrømning evne [14], [17] og differensiering [13]. Den eksponentielle vekst ved et konstant forhold
r *
også enig med den observasjon at celler som er kontinuerlig passert i cellekultur holde fast forhold mellom undertyper; den totale befolkningsveksten er da gitt ved: (7)
Spørsmålet nå er: Kan vi tallfeste de forskjellige påvirkninger på den observerte celle fast forhold fra vekst og overgangs priser? En mulig biologisk tolkning er at endringer i og i forhold til hverandre representerer differensial kondisjon i et gitt miljø, noe som kan fremme darwinian utvalg. Langs samme linje, kan endringer i representere Lamarckian instruksjon i den forstand at et gitt miljø kan pålegge differensialovergangsprisene mellom ulike fenotyper. Dette gir en enkel matematisk rammeverk for å beskrive den relative bidraget av darwinistisk utvalg og Lamarckian instruksjon i skiftende befolkningsforhold i løpet av tumorprogresjon etter kjemoterapi.
Re-likevekt av to fenotyper cellepopulasjon
Det er lett å få tak i tidsforløpet for dynamikken i den re-likevekten av subpopulasjoner ved å finne den integrerte løsningen for Eq. (5). For enkelhets skyld av integrasjon, endrer vi variabelen til og integrere den fra den opprinnelige cellen dekning til forholdet på en vilkårlig tid: (8)
Siden der er gitt ved ligning. (6), vi har
(9)
Dette resultatet tyder på at re-likevekt tid er i størrelsesorden. Vi kan også benchmark denne ligningen med to ekstreme tilfeller som overgang priser er åpenbare. Den initiale hastighet for re-likevekt som starter med en ren underpopulasjon, dvs., er gitt ved: (10) mens den opprinnelige satsen for re-likevekt som starter med rene, dvs., kan skrives som: (11)
i det generelle tilfellet, re-likevektshastigheten er en dynamisk prosess som kombinerer både Eq. (10) og (11). Eq. (5) forutsier også at det er to typer av re-likevekts dynamikk. Den høyre-siden av Eq. (5) når sitt maksimum ved (12) med frekvensen (13)
Derfor, hvis, dvs. forskjellen i vekst er større enn forskjellen i overgangs priser, forventer man at re-ekvilibrering kan bli beskrevet av en sigmoidal kurve langs tid. Hastigheten for gjen likevekt øker med tiden inntil, etterfulgt av en avtagende hastighet. Dette er vist i fig. 2A og 2C. Men hvis, er det vil si forskjellen av vekstrater som er mindre enn forskjellen i overgangs priser, hastigheten av re-likevekts dynamikk, som starter på
r
= 0, avtar monotont med tiden. I dette tilfelle tidsforløpet for re-ekvilibrering følger en eksponentiell metningskinetikk (monotont økende før den når metnings), som vist i fig. 2B og 2D.
A. Cell differensialvekstrater er større enn cellen differensialovergangs priser. Den tidsderiverte av celle-forhold er ikke-monoton før de når fast forhold. B. Cell differensial vekstrater er mindre enn cellen differensial overgangen rate. Den tidsderiverte av celle forholdet er monotont avtagende før den når den faste forhold. C. Cell re-likevekts dynamikk er sigmoidal for tilstanden vist i AD Cell re-likevekts dynamikk er logistisk for tilstanden vist i B.
Cell Befolkning modell for overgang og vekst Dynamics:
M
-Phenotypes
Under utviklingen av flercellede organismer, vanligvis mer enn to celletypene er dannet. Dette introduserer kvalitativt nye egenskaper ikke sett i den klassiske to-tilstandsmodell. For å studere dette fenomenet, vi utvidet vårt matematisk formalisme over til celle fenotyper: (14)
Her er det respektive antall celler av fenotyper i cellen befolkningen. Hver fenotype har en respektiv vekst; er staten overgangs priser fra cellefenotyp
jeg anbefale til fenotype
j
. Siden dette er et lineært system, kan den høyre side skal dekomponeres som en sum av en diagonal matrise og en Markov-matrise. Matrisen form av Eq. (14) kan skrives som: (15)
Her er en positiv diagonal matrise med vekstrater og er en Markov matrise bestående av overgangs priser. Summen av hver kolonne i er null på grunn av fluksen bevaring prinsipp. Dette betyr at det er minst en null egenverdi for matrisen Markov, som garanterer at det eksisterer en stabil tilstand hvis systemet er et overgangs bare dynamisk system (
G
= 0). Hvis vekstrater ikke er null, vil det være en stabil tilstand for celle relative forholdet i stedet for en absolutt cellenummer, er vist i følgende ligning. Vi kan deretter etablere den matematiske forholdet mellom vekst og overgangshastigheten, noe som er nødvendig for å opprettholde forskjellige epigenetiske fenotyper og den faste celle-forhold. Dersom matrisen har egenverdier, deretter den generelle løsningen av ligning. (15) er (16)
Her er konstanter som bestemmes av startbetingelsene i dynamisk system. Hver undergruppe er den lineære kombinasjon av enkelte eksponensielle vekstfunksjoner. Derfor er det ingen nontrivial steady-state som det gjør i tilfelle av overgang-bare dynamikk, dvs. at det lineære system representerer en ideell verden med rikelig næringsstoffer i hvilke celler som kan vokse i det uendelige.
sameksistens eller co-utryddelse av
m
forskjellige cellepopulasjoner krever egenverdier som tilfredsstiller enten eller. Siden vi ønsker cellen befolkningen for å opprettholde de ulike fenotyper, vekstratene for alle fenotyper må være mye større enn summen av de statlige konverteringer: for, kan de delpopulasjoner overleve på egenhånd. Men hvis en av populasjonene har en overgang hastighet som er større enn dens vekstrate, denne populasjonen kan bare overleve som et «
derivat
» av de andre (som igjen er avhengig av «tilbakestrømning» fra de andre) . Dersom, på den annen side, alle subpopulasjoner har konverteringsfrekvenser mye større enn sine vekstrater, blir æren av flere atskilte celle fenotyper uskarpt. I denne situasjonen vil det være bare en cellepopulasjon med subpopulasjoner raskt overgangen mellom hverandre, og på grunn av at ingen av subpopulasjoner kan overleve på egen hånd.
Biologiske eksempler og tolkning
I denne seksjonen skal vi eksemplifisere begrepene er beskrevet ovenfor ved hjelp av eksperimentelle data for kreftcelle populasjonsdynamikk. Det er velkjent at enkelte svulster havn rekke cellulære fenotyper og hver fenotype har ulike biologiske egenskaper, for eksempel vekstrater, migrasjon evner og narkotika reaksjoner. For eksempel er kreft stamceller vanligvis assosiert med tumor-initiering, metastaser og medikamentresistens. En av de største utfordringene som kreftforskning står overfor er legemiddelresistens. Det er to hypoteser om opprinnelsen av resistens mot kjemoterapi eller radioterapi [18]. Den første hypotese foreslår den pre-eksistens av resistente subpopulasjoner som er i stand til å overleve i nærvær av stoffet, og å ekspandere under og etter medikamentbehandling. Den andre hypotesen forutsetter at kreftceller er fenotypisk plast og i stand til transitt mellom legemiddelfølsomme og legemiddelresistente tilstander. I våre tidligere studier [19] har vi modellert responsen akutte leukemiceller HL60 å chemotherapeutical narkotika for å skille disse to mulige mekanismer for legemiddelresistens. Gitt at konstitutiv ekspresjon av
ABC
transportører er vanligvis forbundet med multiresistens, vi målte uttrykk og aktivitet av
ABCB1 /MDR1
transporter før og etter behandling. Vi har funnet at innenfor HL60 cellepopulasjon er det to subpopulasjoner, MDR1
lav og MDR1
Internett, som henholdsvis korrelerer med lav eller høy overlevelse i nærvær av medikament (Fig.3). De to subpopulasjoner kan spontant interkonverterer seg imellom, med en stabil sameksistens forholdet mellom 98:2 (MDR1
Lav: MDR1
Høy) uten narkotika (Fig.3A) og 60:40 med narkotika (Fig.3B ). Våre resultater har vist at responsen på legemidlet ble hovedsakelig kontrollert av endringen i overgangsfrekvens, snarere enn av differensialvekstrater. Her utvidet vi vår konseptuelle tilnærming til å studere tilstandsoverganger i en brystkreft eksperimentelt system med tre mulige fenotyper [20].
Leukemi cellelinje HL60 har to subpopulasjoner, MDR
Høy og MDR
Lav, basert på deres evne til å beholde CalceinAM fluorescerende fargestoff (flowcytometri-profiler), som målt ved flow-cytometri. Flowcytometri histogrammer som svarer til et øyeblikksbilde av den cellepopulasjon på et gitt tidspunkt. I dette spesielle tilfellet er parameteren er akkumuleringen av et fluorescerende fargestoff, CalceinAM, som fungerer som et surrogat for ABC-transportører aktivitet og multimedikamentresistens: hvis cellene beholde det fargestoff, ABC- transportører er ikke aktivt, og cellen er følsom for medikamentet; Dersom cellene ikke akkumuleres fargestoff, ABC- transportører er aktiv og at cellen er resistent mot behandling. A. I fravær av narkotika de to subpopulasjoner sameksistere på en stabil celleforhold, MDR
Høy = 2% og MDR
Lav = 98%. B. Når cellene blir behandlet med 10 nM av vinkristin i 72 timer proporsjonene endres til MDR
Høy = 40% og MDR
Lav = 60%. For ytterligere informasjon henvises til Pisco et al [17].
Tre-fenotype overgang mellom brystkreft stamceller og differensierte kreftceller
Brystkreftcellelinjer SUM159 og SUM149 vise tre ulik atferd, basert på antatte celleoverflatemarkører: stilk-lignende celler (CD44
høy CD24
neg EpCAM
lav), basal celler (CD44
høy CD24
negative EpCAM
negative) og luminal celler (CD4
lav CD24
høy EpCAM
høy) [20]. Gupta et al [18] har vist at SUM159 største cellepopulasjonen er hovedsakelig basal, med en tilhørende fast-celle-forhold på 97,3% basal (B), 1,9% stilk (S) og 0,62% luminal-celler (L). På sin side, cellelinje SUM149 består hovedsakelig av luminal celler, med en respektiv andel på 3,3% basal (B), 3,9% stilk (S) og 92.8% luminal celler (L). I studien forfatterne viste at hvis de tre ulike celletilstander er FACSorted basert på deres overflatemarkører, og de relativt rene celle subpopulasjoner ble tillatt å vokse i regelmessige dyrkningsbetingelser, alt sortert rene celle subpopulasjoner raskt gjenopprettet den opprinnelige cellepopulasjon forhold. Det er da viktig å spørre hvorfor svulster opprettholde denne heterogeniteten med fast forhold og hva er de mekanismene som fører til rask avslapning av sorterte celleunderpopulasjoner tilbake til den opprinnelige forholdet.
Gupta et al [20] benyttet en Markov modell for å beskrive gjenlikevekts dynamikken i celle subpopulasjoner. Selv om Markov-modellen er i stand til å forklare eksistensen av stabile cellefraksjoner «forhold, og kan også fange opp dynamikken i celletilstander, er det to ulemper når en sammenligner til en ODE modell. Først den Markov modell re-skalerer den totale cellepopulasjon til en på hver gang trinn, maske påvirkning av ulike vekstrater på subpopulasjoner. Sannsynligheten for gjenværende i den samme tilstand i Markov-modell, som tilsvarer veksthastigheten i ODE modellen, vil gi celleforholdet for stabile forhold, men kan ikke forutsi den effektive veksthastigheten til hele cellepopulasjonen. For det andre er re-likevekt garantert i en Markov-prosess, så lenge sannsynligheten for overganger er konservert (for eksempel hver rad av sannsynligheten overgangsmatrisen legge opp til 1). Det er imidlertid noen subtile forbindelser mellom vekstrate og overgangs priser, som er savnet ved Markov modell, slik som at veksten og overgangen hastigheten må tilfredsstille tilstanden i Eq. 6 for å nå stabil tilstand, og betingelsene for sameksistens eller avledet eksistensen av ulike undergruppene. Den kvantitative modell utviklet i § 3 brukes til å ta opp disse spørsmålene. Vi er i stand til ikke bare å undersøke behovet for å nå et fast forhold mellom ulike celle subpopulasjoner, men også for å karakterisere tilstanden av sin eksistens i et flercelletype og stadig voksende cellepopulasjonen. Hvis vi antar for subpopulasjoner, ved kjerneregelen for derivasjon, dynamikken i følger: (17)
For å få stabil tilstand av celle forholdstall, vi satt i Eq. (17) ovenfor. Dette fører til en dobbel kvadratisk ligning, som ikke har noen analytisk løsning generelt. Men dette kan løses med numeriske metoder.
Selv om befolknings forholdstall de blir stasjonær, det absolutte celle-antallet av underpopulasjoner, og kan øke i det uendelige. I situasjonen hvor vekstratene er mindre enn overgangs priser, er overgangen matrise hovedsakelig en Markov matrise som tilfredsstiller flux bevaringsprinsippet som den har bare en positiv egenverdi, mens alle andre er negative. Alle celle subpopulasjoner vokse nøyaktig på en enkel veksthastighet og deres forholdstall bestemmes av de innledende konstanter (se ligning. (16)). Derfor subpopulasjoner praktisk talt svarer til den samme celletype med forskjellige ekspresjonsnivåer for biomarkør
X
og ingen av dem kan overleve som en uavhengig celle type. I praksis vil slike raske overganger manifestere seg som svingninger av genuttrykk profiler, bidrar til den observerte befolkningen heterogenitet i snapshots. Som utforsket i Pisco et al. [19], endringer i og kan representere differensial trenings i (mutasjons mindre) darwinistisk utvalg, mens endringer i kan representere Lamarckian instruksjon.
Ved å sette sammen den vekst overgang lineær ODE modell av Eq. (14) med den steady-state populasjon fraksjon av i ligning. (17), kan vi beregne vekstrater og de statlige overgangs priser Det er totalt ni ukjente variabler (3 vekstrater og 6 overgangs priser), men vi har bare to ligninger (med for SUM159 celle avstamning og for SUM149 celle avstamning). Løsningene er ubestemt fordi det var ingen målinger for vekstrater eller re-likevekt tid for hver celle befolkningen. Imidlertid, siden cellefraksjon prosenter er eksperimentelt målt på dag 0 og dag 6 [18], kan vi kjøre parameteren skanning for å finne de verdier som passer til forholdene best på dag 0 og dag 6. Den grunnleggende fremgangsmåten fra parameteren scanning omfatter to trinn: først, er utvalget av skanning verdier og trinn estimert for hver parameter; sekund, en stor parallell prøve-og-feile-testen ble utført for å finne de parametere som bedre passer til re-ekvilibrering av data.
celle populasjonsmodell med vekst og inter-konvertering er vist i fig. 4A. Vekstratene og overgangsprisene SUM159 cellelinje, hentet fra para skanning, oppført i tabell 1. egenverdier er de verdiene som gir best tilpasning av eksperimentelle data. Som vi viste i kapittel 3, den karakteristiske celle subpopulasjoner og sameksistens eller co-utryddelse av dem krever tre egenverdier for å tilfredsstille alle. Derfor kan disse tre celletyper sameksistere. En annen kriterier er å sjekke om vekstratene for alle fenotyper er mye raskere enn summen av de statlige konverteringer, dvs. slik at de tre subpopulasjoner kan alle overleve på egenhånd. Samme prosedyre ble brukt for SUM 149 celle avstamning å oppnå vekst og overgangs priser, som vist i tabell 1. Ved beregning av egenverdiene vi konkludert med at subpopulasjoner av SUM149 kan også sameksistere. Når vi sjekker sammenhengen mellom vekst og overgangs priser, har vi, som viser at de tre subpopulasjoner kan alle overleve på egenhånd også.
A. Illustrasjon av cellevekst og overgang for brystkreftcellelinje med tre distinkte celle fenotyper: luminal celle, basalcelle og melke stamcelle. B1-B6. Etter FACS sortering, hver isolert undergruppe av cellelinje SUM159, stem-aktig, basal og luminal celler, re-likevekt i stallen celle-stat-forholdet. Øvre paneler er dynamikken for celle tall av tre subpopulasjoner; Lavere paneler er dynamikken for celle prosenter av tre subpopulasjoner. C1-C6. Etter FACS sortering, hver isolert undergruppe av cellelinje SUM149, stem-aktig, basal og luminal celler, re-likevekt i stallen celle-stat-forholdet. Øvre paneler er dynamikken for celle tall av tre subpopulasjoner; Lavere paneler er dynamikken for celle prosenter av tre subpopulasjoner.
Dynamikken for re-likevekt av SUM159 cellelinje er vist i fig. 4B1-B6. Vi kan tydelig se at etter celle sortering hver celle sub-populasjon raskt re-likevekt i stallen steady-state ratio
r *
=
N
X
:
N
Y:N
Z
≈1.9:97.3:0.62 innen 12 dager. Men siden SUM149 cellelinje som vanligvis har mye langsommere hastighet overgang, befolkningen langsomt re-ekvilibrert til den stabile steady-state-forholdet til slutten av den 140 dager tidsforløpet, som vist i fig. 4C1-C6. Våre beregnings resultater for begge cellelinjer kvalitativt enig med de eksperimentelle data og resultater Markov modell simulering som presenteres i Gupta
et al product: [18], som viste at SUM159 cellene raskt tilbake til likevekt mens SUM149 celler var langt fra nå likevekt på dag 6. Videre ODE modell avslørt mer informasjon om kreft populasjonsdynamikk.
